两类具冇体液免疫的病毒感染模型研究论文

2020年7月28日10:23:29两类具冇体液免疫的病毒感染模型研究论文已关闭评论

两类具冇体液免疫的病毒感染模型研究论文

摘要

近些年,病毒性传染病在国内外受到了广泛的关注.本文主要讨论了两类具有体液 免疫的病毒感染模型.主要内容可以概述如下:

  1. 第一部分(对应第二节)建立了具有体液免疫和非线性发生率的反应-扩散病毒 感染模型.在空间异质模型中计算得出病毒感染的基本再生数Rg且在Rq< 1时证 得无病平衡状态的全局稳定性.此外,在尽>1时得到了感染细胞和病毒的一致持久 性:以及抗体不发生作用感染平衡状态的存在性.在空间齐次模型中计算得到抗体响应 的基本再生数且进一步利用Lyapunov函数方法和动力系统的持久性理论得到当

〉1且EX<1时抗体不发生作用感染平衡点的全局渐近稳定性,以及当&〉1且 R. > 1时模型的持久性以及抗体发生作用感染平衡点的存在性和全局稳定性.最后: 运用数值模拟验证了结论的有效性;并且验证了猜想的合理性.

  1. 第二部分(对应第三节)建立了具有体液免疫的宿主内部和宿主Z间的疾病传 播耦合模型.首先使用极限系统思想将模型分解成宿主内的快时间子模型和宿主间的 慢时间子模型 对快时间子模型得到了平衡点的存在也并使用李雅普诺夫函数方法建 立了平衡点全局稳定的阈值条件.对慢时间子模型,当宿主内抗体不发生作用时得到模 型可能存在后向分支;而当宿主内抗体发生作用时建立了平衡点全局稳定的阈值条件. 因此,抗体在传染病的传播中发挥了重要的作用,特别地当宿主内抗体细胞达到一定水 平时,可以使宿主之间的疾病灭绝.最后利用数值模拟证明了结果的有效性.

关键词:病毒感染模型;体液免疫:基本再生数;稳定性;「致持久性

Abstract

Abstract

For the past few years, virus infectious diseases have attracted extensive attention at home and abroad. This paper has mainly investigated two types of virus infection model with humoral immunity. The main contents and frame of the article is as follows:

L In the first part (section 2), a reaction-diffusion virus infection model with humoral immunity and nonlinear incidence is proposed. In spatially heterogeneous case, the basic reproduction number of virus infection Rq is calculated; when 7?0 1 the global

asymptotical st ability of the infection-free steady state is established, and when Ro > 1 the uniform persistence of infected cells and viruses, as well as the existence of antibody- free infection steady state are also obtained. In spatially homogeneous case, the antibody response basic reproduction number is calculated: by using the Lyapunov functions method and the persistence theory of dynamical systems we obtain that when Rq > 1 and Bi < 1 the antibody-free infection equilibrium is globally asymptotically stable, and when > 1 and > 1 the model is uniformly persistent and the infection equilibrium exists and is also globally asymptotically stable. Finally, the numerical examples are presented in order to verify the validity of our theoretical results and the rationality of our conjeetuies.

  1. In the second part (section 3), a infectious disease model with humoral immunity coupling within- and between-host dynamics is proposed. By using the methods of limiting system, we separate the model into the fast subsystem within-host and the slow subsystem between-host. For the fast system, we obtgiiii the existence of equilibriums and establish the threshold conditions of global st abilities of equilibriums by using the method of Lyapunov functions. For the slow system, when antibodies in host don't react:we obtain thnt there may exist a backward bifurcation. However, when antibodies in host reacwe establish the threshold conditions of global stabilities of equilibriums. Therefore, antibodies in host play an important role in controlling the spread of disease. Specifically, when the density of antibodies in host reach a certain level, the disease between hosts will stamp out. Finally, the numerical examples are presented to verify the validity of the theoretical results.

Keywords: virus infection model; humoral immunity; the basic reproduction number; st ability; uniform persis tence.

1 引言

1A研究背景与意义

近年来,病毒性传染病仍然在世界各国中肆虐.2004年,世界卫生组织的报告说明 每年大约有1500万人因传染病死亡,是癌症致死人数的两倍.更加令人心惊的是,传染 病的致死人数正在逐年上升,且新的传染病正在不断涌现.诸如此类,种种现象都表明 传染病对人们的生命安全产生了很大的威胁,并且对社会的进步和发展造成了很大的 影响.

自1970年以来,病莓及其所引发的传染病在学术界引起了广泛的讨论.其中猴病 毒(Monkey pox)引起的猴痘病,阮病毒(Prion)引发的疯牛病,酉尼罗河病毒(West Nile virus)引起的西尼罗河热以及禽流感病毒(Avian Influenza virus)引起的禽流感在 21世纪备受关注[1].

随着研究的发展;病毒感染的方式也越来越清晰.病毒入侵宿主的方式冇很多种: 例如流感病毒,麻疹病毒通过呼吸道入侵;甲型肝炎病毒;轮状病毒通过消化道入侵;腺 病毒:感染艾滋病病毒(HIV)通过泌尿生殖道入侵;狂犬病毒:乙型肝炎病毒通过皮肤 创伤入侵;风疹病毒:巨细胞病毒通过胎盘垂直入侵.

当病毒入侵个体时,由于个体的免疫力不同,产生的抵抗力也不完全相同•免疫力 是指个体受到病毒入侵能免受感染的能力.免疫力分为特异性免疫和非特异性免疫.非 特异性免疫又称先天免疫,是个体与生俱来的.特异性免疫是指机体在接受疫苗注射等 抗原刺激后获得的对特异性抗原的抵抗能力,由体液免疫和细胞免疫组成[2].

体液免疫是一种由B细胞产生抗体?从而保护机体的免疫机制.B细胞产生的抗体 可以与体内的抗原特异性结合,以此消灭抗原[2],细胞免疫主要由T细胞完成:即T 细胞受到刺激可以增值分化为效应T细胞和记忆细胞'从而使靶细胞破裂.细胞免疫 由下面的三个部分组成:抗原的递呈与识别阶段:T细胞的活化,增值'分化阶段,效应 阶段[2].

许多己经建立的模型描述了乙型肝炎病毒(HBV),丙型肝炎病毒(HCV),人类噬 T细胞病毒(HTLV),流感病毒以及埃博拉病毒的出现将会导致具有体液免疫的体内感 染过程.此类病毒所引发的传染病将会对控制疾病的爆发提供理论依据.

1.2国内外研究现状

病毒入侵宿主的过程很复杂,其中包括病毒进入细胞,病毒的生长繁殖以及释放新 的病毒粒子来感染其他未感染的细胞•经过一到两天的病毒复制,被感染的细胞将会死 亡(参看文献[3]|

现代免疫学中指出;免疫是个体可以保持相对稳定的基础.在病毒入侵的过程中; 免疫的作用不能被忽略.在相关的研究中:具有细胞免疫的模型被讨论的次数更多(参 看文献[4-8]).然而,文献[9]中提出体液免疫比细胞免疫更有效果.Wang在文献[10] 中提出体液免疫反应在易感细胞感染细胞1(口病毒V(t)和B细胞之间 的病毒动力学中起到了重要的作用,并且提出了一个关于免疫反应的基本数学模型.模 型建立如下:

'一 =A_dT —TV,

=^TV - al,

=kl - uV - qBV,

——=gBV - cE.

文献[10]利用Lyapunov函数方法分析了模型(1.1)的全局动力学行为.事实证明:如 果病毒偏离了特定的免疫反应,它就会发生变异(参看文献[11, 12]).由于抗原的出现 可以刺激发生免疫反应,所以很多模型都忽略了免疫缺陷•然而如果病毒负载较髙,一 些病毒可以抑制甚至消灭免疫反应.为此许多学者讨论了具有免疫缺陷的病毒感染模 型的动力学行为(参看文献[4, 8]).

1.2.1关于反应扩散病毒模型的研究现状

模型(1.1)中的一个主要假设是细胞和病毒均匀混合•然而,在病毒感染过程中考 虑空间结构是十分必要的.为了探究空间结构在病毒动力学中的影响,Wang 文献 [13]中提出了一个HEV感染模型,假设病毒的移动服从Fickian扩散(病毒的流量与 浓度梯度成正比:比例常数取负值),并忽略了易感细胞和感染细胞的扩散行为,

=入一du

=/3uv - bw,

=dHv + kw mq

其中,11匕 M也X)v^t)分别表示易感细胞,感染细胞和病毒在时间为t,空间 位置为x = …如)的密度;Av = S^=1d2v/dx^ n = 1,2或3"是扩散系数.

在病毒感染过程中,一般情况下认为易感细胞和感染细胞不发生扩散行为(参看文献 [14,15]).然而从生物学角度来看,分布在体内的细胞将会和环境以及其他细胞发生相 互作用(参看文献[16]).具体来说:易感细胞具有远离感染细胞的趋势,类似的,感染细 胞具有逼近易感细胞的趋势.因此,Ren在文献[17]中讨论了一类易感细胞,感染细胞 和病毒都具有扩散行为的病毒感染模型.

许多物理和生物现象都可以用反应扩散方程来描述.根据反应-扩散方程可知空间 中浓度和密度的分布可以由两个过程影响:局部相互作用和种群的扩散•在种群动力学 中;个体的随机运动用扩散项表示,个体的繁殖用反应项表示.近年来:许多学者分别从 流行病学和病毒学的角度讨论了反应扩散的过程.在病毒学中:例如:Wang在文献[13] 中考虑了具有HEV感染的数学模型.在流行病学中,Allen在文献[18]中提出了一种 连续空间环境的频率依赖性SIS (易感-感染-易感)反应扩散传染病模型.

二ds 工(厶必Sk - LkjSj) * £ + J G
X +均

=di /(Lj订丘-Lkjlj) - J 2 + e Q;

心 5 + -

其中$⑴和 3)分别表示易感者和感染者在斑块j中的数量;ds分别是易感 和感染子种群的扩散系数;s表示从斑块k到斑块j的移动速率;內和%是表示疾 病传播率和恢复率的正常数.

1.2.2关于耦合模型的研究现状

在疾病传播的过程中存在着两个很重要的过程,一个是个体水平上的细胞-病毒的 相互作用,另一个是种群水平上的疾病传播过程.这两个过程大多被独立的讨论,例如, Leenheer和Smith在文献[19]中提出了细胞-病毒相互作用的模型

(1.4)

Dietz在文献[20]中给出了 SIR (易感-感染-恢复)传染病模型

S=A - “S-风 t)S 厶

< ]0(// —(7 + “)人 (1.5)

R =雪1 —)iR.

Li在文献[21]中讨论了 SEIR (易感■潜伏■感染■恢复)传染病模型

S =bN -dS- XIS/N, E =XIS/N -(e + d)E, i =eE — (7 + cv + d)厶 R =7/ — dR)

其中种群总数N(t)可以被表述为N=S(t) + E(t) + 1(+ R(t\然而研究表明,对 宿主之间的传染病动力学和宿主内部的细胞-病毒动力学的学习可以对宿主-病毒动力 学产生新的认识(参看文献[22-24]).例如Gilchrist和Coombs在文献[24]中给出了 如下的宿主之间模型和宿主内部模型

=A - kVT - dT,

=kVT - (fi(p) + d)r ?

并且利用嵌套模型推导出了疾病传播与致病力的函数关系.Gilchrist和Sasaki在文献 [25]中探究了宿主■病原体相互作用中的共同进化.但是在上述模型中,宿主内部动力学 对宿主之间动力学的依赖性并不是很明确.由于环境污染对于弓形虫病这类传染病的 传播有很大的影响•为此;Feng在文献[22]中基于弓形虫的特征,讨论了环境驱动的宿 主内细胞■病毒模型与宿主间传染病模型的耦合模型.

文献[22; 26]表明,当一个简单的细胞-病毒模型和一个SIE (这里S是易感者,I是 染病者,E为环境病毒)传染病模型耦合时,新的疾病动力学行为会出现.特别的,当两 个子模型孤立时:毎一个子模型都是标准的:简单的.然而当两个子模型耦合时,其动力 学行为会变得复杂.为了简便,文献[22]和文献[26]忽略了宿主的因病死亡,然而这种 简化限制了模型对一些生物学问题的研究,例如毒力的进化(若毒力表示宿主因该病死 亡的数量).

1.3本文的研究内容

本文主要讨论了两类具有体液免疫的病毒感染模型;计算了疾病流行的基本再生 数,得到了无病平衡点和地方病平衡点的存在性,建立了平衡点局部和全局稳定性的判 别准则以及疾病灭绝和持久的阈值准则.全文分为四节,除引言外主要内容如下:

第二节建立了具有体液免疫和非线性发生率的反应扩散病毒感染模型.首先计算 了模型的无抗体基本再生数和抗体响应的基本再生数.其次,得到了模型的无病平衡 点,抗体不发生作用感染平衡点以及抗体发生作用感染平衡点的存在性并通过构造 Lyapunov函数证明了平衡点的稳定性.进一步利用持久性理论得到了模型的一致持久 性.最后,利用数值模拟验证了理论结果的有效性以及猜想的合理性.

第三节建立了具有体液免疫的宿主内部和宿主Z间的疾病传播耦合模型.首先分 别建立宿主内部的病毒感染模型,宿主之间的SIE传染病模型以及传染病耦合模型;其 次,运用极限系统的方法得到宿主内的快时间子模型和宿主间的慢时间子模型;并且分 别讨论了无环境污染和存在环境污染的快时间子模型,以及抗体发生作用和抗体不发 生作用的慢时间子模型;最后给出本文的结论,并从生物意义上解释宿主内抗体对宿主 间疾病传播的作用.最后,利用数值模拟证明了结果的有效性.

第四节总结了全文并对后续研究做出了展望.

2具有体液免疫和非线性发生率的反应-扩散病毒感染模型 的全局动力学行为

本节讨论了一类具有体液免疫和非线性发生率的病毒感染扩散模型;分别在空间 异质及空间齐次的情形下得到了基本再生数,平衡点的存在性以及平衡点稳定性和模 型持久性的阈值条件,并利用数值模拟验证了结果的有效性.

2A模型建立与预备知识

本节提出下列具有体液免疫和非线性发生率的反应-扩散病毒感染模型

(dT(t 於

—— x)戸(n)/(z(和 z):

at ‘ * ‘ ,‘ ‘ ‘

一打_-=刀2△/仏戌)+ 卩⑴ jd 龙))U仏龙)—X),

< "学;二刀3厶卩(「乂) +p(z)/(「z)-讥z)y亿 z) - g⑴方亿(21)

=D^Bx) + g(x)B[t,评亿 x) - cB&x)

其中t E [0, co): x E Q,且具有齐次Neumami边界条件

摯二瞬=^^ = ^^ = 0"€加,_0, (2.2)

on on on on

和初值条件

7(。卫)-01仗)2 0, I{0.X)- 02仗)> 0,

x G Q, (2.3)

V(o,x) = 03(z) 2 0, B(0,x) = 04(z) 2 o,

其中Qu是一个具有光滑边界3Q的区域,且工二(巾卫2,…皿J其中k > 1是 整数;法表示OQ上的外法向导数;©仗)a = 123:4)是定义在区域Q上的非负的 Holder连续有界函数;T也讥I(t.x\ V(t.x}B(tQ分别表示易感细胞,感染细胞: 病毒和B细胞在时间为匚空间位置为时的值.函数f(z) = f(T,V)为模型的感 染发生率,其中2 = D 参数d(讣 M n(x)和心)分别表示易感细胞,感染细 胞,病毒和B细胞的死亡率.仔⑴为感染率.4("巾)和曲)分别表示易感细胞,病 毒和B细胞的产生率.q是B细胞的中和率.表示免疫缺陷项.

△ = ELi 表示 Lapl ace算子刀2: D3Dr是正常数?分别表不易感细胞:感 染细胞,病毒和B细胞的扩散系数.

边界条件(2.2)说明种群之间不能跨越边界dQ.在病毒感染期间,感染细胞的 调控在病毒的发病机理中起到了重要的作用.由于易感细胞的功能障碍会对CTL诱 导产生一定的损伤作用:因此对感染细胞的调控会导致病毒逃避免疫(参看文献[27]). Iwami等人在文献[28]中发现了损伤率上的风险阈值和免疫缺陷阈值•这意味着当免 疫细胞的产生率超过其损伤率时:免疫系统会被激发;否则,免疫系统会崩溃.因此,在 本节中始终假设对任意的丄e Q,都满足g(E > m⑴.

2.2空间异质模型

对整数fc > 0,设0 = {乂 = 31,巧…心)G卅:乂2 2 0」=1,2:…,耳且 QuRk是一个具有光滑边界OQ的区域,◎是Q的闭包用X = C(Q;B4)表示连续 函数从H映射到R\且具冇上确界范数|| • ||x的Banach空间.设厂=附)是 X的正锥,且(&X+)是一个右序的Banach空间.

对模型(2.1)介绍下列假设.

(HJ 函数 d(x), c(x), A(x),p(x),g(x)m{x)x 6 Q 是正的:连续的;

有界函数.

(丛)函数f R; T R+是连续可微的;/(0,V) = 0对任意的V 2 0都成立; 艺笋1 > 0和空沪 < 0对任意的T>0和V 2 0都成立.

注2.1.有很多具体的非线性发生率函数满足假设(/)•例如,WV)=(参看文 献何丿,/(T,门=弔斤(参看文献㈣丿和/⑺V) = 1+q幕心(参看文献[30]).

首先,对于模型(2.1)解的存在性,唯一性,非负性和有界性给出如下结论.

引理2丄假设在模型(2.1)中,£)x = D2 < Z)3 =则对任意的初值函数 (仞3)4比)03(讣如3))「「,模型(2.1)-(2.3)有…个定义在[0,oo) xO上的唯「 非负且最终有界的解(T仏V(t,讣Bit,

证明.显然:模型(2.1)的右端函数对(TJ.V.B)X+内是局部Lipschitz的,通 过运用文献[31],或文献[32,引理2.2],以及文献[33,推论4]类似的论证:可以 得到模型(2.1)-(2.3)有一个定义在最大存在区间p臨她)上唯一的局部温和解 (T(t; X), V(t. 21))其中 0 < Tmax < co.此外:解V(t,x).
B(Z)也是模型(2.1)的一个古典解.由文献[34,章节10]进一步可以得到 (T(t?x)(i?x), B(t?x))对 t € \0,Tmax)是非负的.

定义 N(t, x) = T(t,x) + 当 Di =刀2 时可得

Oh];+ A(x) - d(x)T(t:x) a1(切)
x) + A — r/N(£ x),

其中丢=max诜© A(z)且“二min班◎{〃(为)卫(z)}.

考虑下述比较方程由文献[31,引理1],对方程(2.4)的任意解可得lim^^v仏z)=扌对足G Q 一致成立.因此,叭冲)在[0,oo) x Q上也是有界的.因此,根据反应-扩散方程的比 较原理(参看文献[35])可得N(t,x) <沪D 对任意的(M) e [0,Tmax) x Q都成 立:其中讥側)是方程(2.4)满足初值条件护(0,龙)=N(0r)的解 因此,N(t,x)在 [0叽)x Q上是有界的.因此:T(t,x)I(t,x)在[0九)x Q上也是有界的.

定义 M(t,x) = V(t, x) + §(諾爲/(M;D3 = D4 时可得

")=D3AF(t,x) + +p(x)I(t,x) -u(x)V(t,x)

ot g[x)m[x)

—广⑴何、刖⑴ (2.5)

g\x) m[x)

+pl- crM(t,T),

其中7 = max{Z(t rr) : (t.x) e [0, Tmax) x Q}且cr = min述厲他3)疋3)}・和上述讨论类 M, V(t,x)B{t.x}在[0;几妣)x 0上也是有界的.根据半线性抛物系统的标准理论 (参看文献[36]),可以得到Tmax = 00.这说明解(T(M)J他叭卫)彳(如))对任意 的(射)E [0,oo) x Q都可以被定义,并且解是唯一且非负的.

由于limsuptTooN(M)W ligTocX仇乂)=寻则存在一个t0 > 0使得

对任意的仏⑦)e [如00)x Q成立.由(2.5)进一步可得

^7—- W D3AM(t, x) + — 1) 一 aM(t^ x)

Ot T)

对任意的Oto和①G Q都成立.和上述讨论类似,也可得

@律+ 1) - 、 —

limsupM仇 n) <    对 x E Q …致成立, (2.7)

tTOQ 。

最后:根据(2.6)和(2.7)可得解(T{i,x)J[Lx),y^x\B仏戈))是最终有界的.证 毕. 口

注22在引理2.1中,为了得到解的有界性,在模型(2.1)中假设扩散系数满足 刀1 = D2D3 = D4.然而,由引理2.1的证明可知这些条件仅仅在数学推理中被用 到.因此,一个有趣的开问题是在更一般的扩散系数中得到模型(加丿解的有界性.

注2.3.基于文献[37,引理2.7]的讨论,由引理2.1可得模型(2.1)-(2.3)的所有非 负解生成了一个解半流①⑴=心J : X+ T X+,且①⑴0 = 对任意的t 2 0, z G ◎和0 C X+都成立.

下面计算病毒感染的基本再生数.对模型(24)来说,病毒感染的基本再生数描述 了在感染初期,由一个感染细胞生成新的感染细胞的平均数.

在模型(2.1)中假设1(" = 0? V(M) = 0且B") = 0,则可得下述标量反 应-扩散方程

=AAT(t, x) + A(x) - d(x)T(t、x\ xeQ,t> 0,

L

e) xG^t>0.

on

根据文献[31,引理1]可得下述关于方程(2.8)全局动力学行为的结果.

引理2.2.方程(2.8)有一个唯一的正平衡状态几⑴,满足方程

D]AT°(x) + A(x) d(x)T()(x) = 0, x E

其中暫畔=0对龙G加成立•且恥)在C(QX+)内全局渐近稳定•此外,若 乂(・)三人且必・)三d是正常数,则ToW = 1

 

2.4.由方程(2.8)可得

0T(t g) _

— 2 D[△7~'(右 乂) + A — dT(t^7): x G Q, t〉0、

Cz L

其中A = mil—•魚人W)且d = maxxend(x).比较方程

勿初=D\△"仏 x) + A -弘仏 x), x E Q, L > 0

有一个正解/二事且/二号在C&R+)内全局渐近稳定.根据比较定理可得 Tq(x) > z/*对任意的x e Q都成立.这说明To在Q上是严格正的.

为了计算模型(2.1)的扩散项,根据散度定理(参看文献[38,定理3.3])和齐次 Neumann边界条件可得下面的结果.

引理2.3.假设函数讣),D(・)G C(0』+),帯 =0对乂 G 0Q成立,并且f(s) 是定义在R上的连续可微函数.则

根据引理22可知模型(2.1)存在一个唯一的无感染平衡状态母仗)=0,0,0).

将模型(2.1)在平衡状态Eq(x)处线性化,由假设⑴2)可得下述线性方程

由于©仏工)和叫也X)在第二个方程和第三个方程中不出现:则仅考虑方程(2.10)的 子系统

" =B2Aw2(To(x), 0)w3(t, x) - a(x)w2(t,x),

彳 x G > 0,

' 舄厂=刀3△物亿 z) +p{x}w2(t,x) - u(x]w:i{tx).

v on on

(2.11) 在方程(2*11)中代入W2(t,X)= 002(乂)和W3(t;X)= 003(Z)可得下述特征值问 题

I

入02(工)二刀2厶。2(乂) +尸⑴几顶巧:0)。3仗)—口仗)02(乂); 厂

x e Q,

入03(讨=刀3耳3⑴+卩(北)03⑷-乜⑷加他): (2.⑵

绊亠绊—…也

on on

由文献[39,定理7.6.1]可得下述结果.

引理2.4.特征值问题(2.12)有一个主特征值Ao = Xq(D2.D3,Tq(x)),且Ao有一个严 格正的特征向量00(对=(血(讣血⑴严

由引理2.4可知入°是一个代数重数为一的实特征值.对于特征值问题(2.12)的任 意其他特征值都可以得到尽(入)< Ao.此外,特征值问题(2•⑵关于特征值Ao的任意 非负特征向量是咖⑴的正倍数(参看文献[40?引理2.2]).

T(t) : C(©/2) t C〔Qk2)是由下述系统生成的解半群

彎也=!)△£◎) - K(x^t,x),讥 Q, t > °, 畔Uo,讥加,£>0,

on

其中£仏=)=&亿讣&(貝)厂且D =伽以刀2,刀亠为了得到模型(2.1)病毒感染 的基怎再生数,假设病毒在t = 0时刻出现,并且初始吋刻感染细胞和病毒的分布可以 被描述为x)=(如(%),加(巧巴因此,随着时间的推移,新产生的感染细胞和病毒的 分布在t时刻变为F[x}T{t)^x\因此,感染细胞和病毒的总分布为

定义如下的算子

是…个连续的正算子:并且将初始感染分布0(工)映射到了整个感染期间产生 的感染者的总分布•基于文献[41,章节3]的讨论,用纟的谱半径来定义模型(2.1)的 病毒感染基本再生数Bo.因此:Ro = 心).此外:根据文献[41,定理3.1]可得下述结 果.

引理2・5・凤-1和入°符号相同.

個)若禺< 1,则模型(2.1)的无感染平衡状态母(对是局部渐近稳定的.

伽)若7?0>1,则坯⑴不稳定.

讨论无感染平衡状态E0(x)的全局稳定性,得到下述结果.

定理2.1.若7?0<1,则模型(2.1)的无感染平衡状态凤⑴在X+内是全局渐近稳 定的.

证明.根据引理2.5的结论(z)可得Ao < 0.对任意的常数6 2 0,考虑下述特征值问题

[入02⑴二刀2®2(2:) + 卩⑴ f(To(x) + 5, 0)03仗)-aW

入03仗)=刀必03仪)+卩(乂)。3⑴一泯⑺03(讣

当d = 0时,特征值问题(2.13)就变为特征值问题(2.12).根据引理24可得问题(2.13) 有一个主特征值入心且入6有一个严格正的特征向量(血2⑴:血3仗)).运用与文献[42, 引理4.5]中相同的理论,可知存在一个充分小的d〉0使得兀< 0.

由模型(2.1)的第一个方程可得

Of =) §刀](右 乂)+ 乂(玄)—d(z)f 亿订 x e Q, t〉0:

由比较定理和引理22显然可得

因此,存在一个/■! > 0使得T(t.x) < W+5对任意的 31和z G ◎都成立.根据 假设(H)由模型(2.1)的第二个和第三个等式进…步可得

―打) < 刀 2△/亿 乂) + 0(龙)/(几⑴ + &0)卩亿兀)—a(x)I(t, x\ —春_- W D3AV(t,x) + p(x)I(t7 x) u{x)V(t^x\

G Q; t > ib (jUo 11 X)
如打对
=D2厶”2仏龙)⑺)仗)+&0)呦亿对-a(x)u2(t,x).
选择一个常数Q〉0使得Q(伽2(叭伽3(乂))> (/仏叭卩(仃:7))对任意的
X EQ都成 立.注意Q(血2⑴,如3(>))0(5)是下述比较方程的解

1 一才一 =D3Au3(t,x) +p(x)u2(t,x) u(x)u3(l,x), 理型=理拦7兀血t〉t\.

i on on

根据比较定理,由(2.15)可得

(7(财 Ke)) w Q(如⑴ @3 ⑴zgQ: t > tr. (2.16)

这说明

lim(/亿讣卩亿:?:))= (%0)对 x eQ 一致成立. (2.17)

tTDO

由(2.14)和(2.17)易知max聞毎o〃(z(M))} < g因此:根据假设冋)可知,存 在一个充分小的s0 > 0使得对任意的0 < £ < £()」(=) —卩⑴max"趁°甘(2(央))}& > 0和曲)-g(x)e > 0对任意的a: EQ都成立.由(2.17)可知,存在一个C > 0使得 I (J x) < g和V(t:x) < e对任意的z C Q和t 2护都成立.由模型(2.1)的第一个和 第四个方程可以进一步得到

刃[匚"2刀(匚 N)+ 貝⑴一d(工)T(t)z) — B(x) max x E Q, t〉俨.

和 ,

O{; 冬刀4△行亿 x) + g{x)B(t. x)e c{x)B{t. x)

=D4AB(^ x) - (c(z) - gx\ 2* e Q, t >

根据比较定理和引理2.2可得liminf^T^x) 2 Te{x)和li叫一乂 = 0对z G ◎

一致成立,其中T£(x)是下面方程式的唯…正解

D\£\Te(x) + A{x) d{x)Te(x)  0(z) max {/(?(「工))}& = 0, x G Q,

且 = o对z G OQ成立.由于lim-収⑴=W,根据(2.14)最终可得 lim^Too T(t、x) = Tq(x)对=G Q —致成立.证毕. □

很遗憾当7?0 = 1时不能用定理2.1中的方法得到模型(2.1)的无感染平衡状态 Eq(x)的全局稳定性.因此:通过构造Lyapunov函数可得下述结果.

则模型(2.1)的无感染平衡状态氏⑴是全局渐近稳定的.

证明.定义如下的Lyapunov函数

Ui =林 / x)dx + k2 / V(t, x)dx + k3 / B(t, x)dx.

Jq Jq Jq

U、沿着模型(2.1)的任意止解求时间导数,可得

=/Cl [[刀2△/仇=)+ P(x)f(z(Z, x))VU,x) ClI仏训血 di

+ k2 [D3 AV(t, x) + p(x)I(t, x) - u(x)V(t, x) - q{x}B{t^ x)V(t, x)] dx

+ k3 \

由引理2.3可得

I AV(t^x)dx = / AB(t, x)dx = 0. Q Jd

利用假设(H)可得 [k1/3(x)f(T0(x)y 0)V(t,x) 一 kia{x)I(t^x) + k2p{x)I(tyx) - k2u(x)V(ty x)

k2q(x)B(t^x)V(t^ x) + fc3(p(x) - - k3c(x)B(t^x)^dx.

 

由假设 W 可以选择正常数fcbfc2k3使得k^x)如⑴和k2q(x) 2 k3ff(x).因 此,进一步可得

k1J3(x)f(To(x)?O)V(t,x) - k2u(x)V(t,x)
—x)V(t, x) — k3c(x)B(t, x)]dx

[ V(t^x) 0(北)/(几(乂),0) ' ] [)dx

Jq 1- P\x)

—k3 x)V(t7 x)dx - k3 / c(x)B(t: x)dx.

7q 丿q

由定理的条件可得< 0.进一步得到= 0当且仅当V(t,x)三0且B(t,x)三0 时成立.由模型(2.1)的第三个方程可得/(M)三0.此外,由模型(2.1)的第一个方程 可得1叫*中工)=T0(x).因此,根据LaSalle的稳定不变原理(参看文献[43,定理 5.3.1]),无感染平衡状态凤⑴的全局稳定性得证.证毕. □

Rq > 1时,探究模型(2.1)无抗体感染平衡状态艮⑴=(71(叭厶3)托⑴:0) 的存在性,其中T^x\人⑴和凶(为)满足下述方程

D[△八仗)+ A(x)- 〃(对八仪)-0也)几耳⑴,H(>))%(>) = 0,

< + /W(W片⑴)H(巧-皿巧厶3) = 0, 応必

刀3△记仗)+卩(=)厶3) - "(N)%(X);

"T;; " =PiAT(t, x) + 4 仗)一 d(x)T(t, x) -
在模型(2.1)中设
Bg) = 0,可得下述子模型
'"U =刀2△/仏工)+ 03)/(z 亿 n))V(M) — 卜 19)

x} + pIx) - u(x)V(t, “

其中t e [0,00)且z G Q;并且具有齐次Neumami边界条件

用Y = C(S1,R3)表示连续函数从Q映射到且具有上确界范数|| • ||y的 Banach空间.设斤=CQk*)是Y的正锥.
⑴ 2 0, /(0, x)=伽(龙)2 0, V(0,x) = 03仗)2 0? x e Q. (2.21)

显然模型(2.19)冇一个无感染平衡状态Eq(x) = (To(^,0,0),其中%⑴在引理 2.2中定义.首先证明模型(2.19)的所有正解都是一致持久的'这需要下述结果.

引理2.6.若7?0> 1,则存在一个常数0 > 0使得对任意的初值0=(仏仏如E「 其中伽知且肌弄0,模型(2.19)的解u(t.x) = (f(M)」(M)T(M))满足

lim sup (如)-耳(为)||卑 2 t―^'30

证明.对任意的初值0 W 其中伽弄0且加弄0,由抛物型方程的最大值原理(参看 文献[35; p.172,定理4])可以得到/仏对> 0和V(t.x} > 0对任意的t〉0和工& © 都成立.由于Rq > 1,由引理2.5的结论们可得Ao > 0.考虑下述特征值问题


入& 3)=刀2△& 3) + 0(久)/(%仗)
—仙&⑴一讹)&(讣

设入oS)是问题(2.22)的主特征值.利庄文献[42,引理4.5]中相同的理论,可得存在一 个充分小的常数小> 0使得入°血)> 0,并且宙注2.4也可得口⑴-?7i>0对任意的 xen都成立.此外,关于入0伽)的特征向量(& 3),&(巧)对z G ◎也是严格正的.
x
 E dCl.

假设引理中结论不真:则存在一个0 = (01:02:物)E 其中02工0且03弄6使 得

limsup||w(t,-)—瓦(乂) ||并 < 心:

tTOO

其中U也工)=)是u(0,x)=伙X)的解.则存在一个充分人的t 使得对任意的和Z &久都满足

顶工)-7/1 < T{t, X)< 几3) + 九 1(1, X)< 叽 V(t,x) < 叽
因此,由模型(2.19)和假设(见)可得微分不等式

(Qi(t 乂)

\ ―才—2刀2®(t;z) + 〃(乞)/(%(%) — qiM)V(t:T)a(x)I(t:x)>

]dV(t x) _

[ 计—=刀3^卩 z) + X)— U(X)V Z):有解(旳(央)—2亿工))="0伽)(1)(&⑴疋2仗)).由于(/(DMD) > 0对Z G Q成 立;则可选择一个常数C > 0使得(/(m:r)) 2 C(&(讣&仗))对x G n成立 注 意c(®亿对卩2亿巧)也是方程(2.24)的解,根据比较定理:由(2.23)进一步可得显然比较系统

(/亿巧,V亿巧)2 c(“⑦伉辺幺t)): t > t, x e Q.

由于汕血)〉0:所以 lim^oQ = oc 对 z = 1,2 成立:因此;lim^^ I仏z) = oc 且lim^oo V(t,x) = ex),这与引理21中(/(MH龙))的有界性矛盾.证毕. □

引理2.7.假设在模型(2.1)中刀1二刀2且刀3二刀4・则模型(2.1)的解半流 ①⑴=•) : * t X+有…个紧的全局吸引子.

证明.由引理21可得模型(2.1)的任意非负解(T也小1(中)川农工)阳也眄是最终 有界的.这说明解半流◎⑴=讹•): X+ T X+是点耗散的.根据文献[44,定理2.2.6] 可得对任意的t > 0,①⑴都是紧的.因此,根据文献[45,定理3.4.8]可知①⑴二 心) 在X+内有一个紧的全局吸引子.证毕. 口

作为引理2.1和引理27的推论,可得下述关于模型(2」9)的全局吸引子和解半流 存在性的结论.

推论2.1.在模型(2.19)中假设D. = D2.可得

@)对任意的初值讥工)=(01(叭02(讣03(工))G「模型(219)-(2.21)有一个定 义在[0, +cx)) x Q上的唯一,非负且最终有界的解= (T仏V仏》))•

(b)对任意的t > 0,2: e Q和妙€玲,解半流巫⑴:片T片由璽环= v{t,x) 定义.

⑹解半流"⑴:片T片在卑内冇一个全局吸引子.

关于模型(2.19)正解的一致持久性:可得下面的定理.

定理2.3•假设Di = D2.Rq > 1,则存在…个常数5 > 0使得对任意的 初值0 =(九仏如e n,其中h + o且血弄o,模型(2.19)的解 =

liminf T(t, lim inf /仇化)2 ① lim inf V x) 6 对 zwQ …致成立.

*TOO 十 TOO tTg

证明.由推论2.1的结论(a)可知,存在一个常数M > 0使得对任意的解(T(tr)J(t讣 卩亿对)都存在一个时刻t0 > 0使得T£x) < W M和V{t,x) < M对任意

的tEQ和t沐。都成立.因此,由模型(2.19)的第一个方程可得

"学;" > 刀iZVT(t卫)+ A(x) 一 (d(x) + i3(x)M2)T(t,x), t 2 如 x e Q,

其中胚=sup{°憎,%3 : 0 <如g W M}.根据文献[31;引理1]以及注2.4屮类似

的理论可知T(t,x)十一个正的下界.这说明模型(2.19)中的Tg)是一致持久的.

定义集合

^0 = {^ =(仏 02: 03)& 片:02 壬 0,伽 0}.

显然可得

。蛉=旺\蛉二⑴G行:血三0或亦三0}.

由推论2.1的结论可知,解半流叭t)由模型(2.19)生成.显然lo是解半流叫) 的不变集.定义

Md;={^eY+ W⑴© e dYQ对任意的t 2 0成立、

设也)是W⑴也的w极限集,并且设集合M = {Eq(x)}.由于呼)恥)=认)对 任意的t 2 0都成立,则Mi c U心朋”»现在证明U阮皿畀何)C

对任意给定的0 C g 由于W⑴0 e dYQ对任意的t > 0都成立,可知璋⑴三0

或9(3三0对任意的t 2 0成立.若三0?由于是一致持久的,则根据 皿)和模型(2.19)的第二个方程,可得V(t,x)三0.那么,由模型(2.19)进…步可得 下面的子模型

0,c dQ, t0.DTx) + A{x) - d{x)T{t,

显然由引理2.2可知limtTgf(M)= T0(rr),这说明⑴⑷=瓦(龙)•若V(t.x) = 0,则 由模型(2.19)的第三个方程可得/(M)三0.类似的,也可得子模型(2.25).因此; limtToof亿①)=7o(x).这也说明⑴帥)=Eq(x).

由上述讨论可知U低馮宀帥)C 因此,最终可得U阮盹宀帥)=Mi.

定义一个连续的函数R十为

p(妙)=min {ini卫 物(乞):min^3(^)}?妙 G 玲.

显然,当p仲)> 0可得

min(j)2(x) > 0, min(l)3(x)〉0:妙 G Y+.

这说明pj(0:+x) c怡设n(Lx) = CT(M)M亿巧MM))是模型(2.19)满足初值 条件0 = (0,0203)e n的解,由引理2.1可知心)是模型(2.19)的非负解.当 02黑0且创M o时,由抛物型方程的最大值原理(参看文献,e.g., [35, p.172,定理4]) 可得I也为)〉0且V(t,x) > 0对任意的t 2 0和Q都成立.因此:p的性质为卩(0) = 0 且讥》缶或P@) > 0,则加叫)妙)> 0.因此,p对半流叫):―比来说是广义的 距离函数(参看文献[46,定理3]).

由Uy半以训二M可知当t t +00时,恥内叩)的任意轨道都收敛到平衡状 态瓦⑴.由引理2.6可知,瓦⑴ 是n中孤立的不变集,且Ws(Eo(x))nYo = 07其中 Ws(Eq(x))是平衡状态瓦仗)的稳定集.这说明 严(瓦)⑴)Qp-1© +oc)二0.

此外,根据上面的论述可以看出当t T +oo时,模型(2.19)在边界上的所有 解都趋向于平衡状态岛⑴.因此:中没有子集形成dY.中的环.由推论2.1的结论 (c),解半流(t):片T匚在九中有一个全局吸引子.那么根据文献[46,定理3]可 得存在一个常数5 > 0使得liminftTooMWM) 2 6对任意的妙G蛉都成立这证明 了结论中感染细胞和病毒的一致持久性.证毕.

作为定理2.3的推论,由文献[47,定理136]可知关于模型(2.1)无抗体作用感染 平衡状态存在性的结论*

推论22假设Rq > 1,模型(2.19)冇一个正的平衡状态 恥)=⑺⑴丛(订记⑴). 此外,模型(2.1)至少有一个无抗体作用感染平衡状态民⑴=⑴⑴』⑴托(讣0).

注2.5.推论2.2只能得到模型(2.1)的无抗体作用感染平衡状态Eg 的存在性.进 一步需得到平衡状态民仗)的唯一性并计算模型(2.7丿抗体响应的基本再生数兄,

注26若计算出抗体响应的基本再生数Ru则可进一步得到新的开问题.即当Eo > 1 且兄< 1时,是否能得到保证平衡状态民⑴局部和全局渐近稳定的阈值.

注2.7.此外,当尽)〉1且兄〉1时也可以得到新的开问题.即是否可以得到模 型(2.1)的抗体作用感染平衡状态E\x)=(厂⑴』%:)”*(:心厅⑴)的存在性,且 0⑴满足下面的方程

"D1△厂仗)+ A(x) - d(x)T(x) 一 0(x)f(Tf 旷⑴)旷⑴=():

D 2△厂(£)+仔(对/(厂3),厂3))旷(坊-°仗)厂仗)=o, 门

x x G 12,

D3Ar(x) +p(x)r(x) - u(x)V^x) - = 0,

⑴ + g(x)B^x)V^x) - - = 0;

和边界条件

dT^x) dr(x) dV^x) dB^(x) n “

飞厂二市r二市厂二市厂"心

并进一步得到模型化〕丿所有正解的一致持久性和平衡状态0仗)的全局渐近稳定性.

下面,当模型(2.1)的所有参数都是常数:即模型(2.1)是空间齐次模型时,讨论上 述问题并建立相应的阈值条件.

2・3空间齐次模型

在本节中,为了得到更多确定的结果,假设模型(2.1)的所有参数都是常数.因此, 模型(2.1)变为空间齐次模型

"打"=D1£\T(t,x)+A - dT(t,x)

—*—- =D2Al(t, x) +

dVfL 阳)

———=D^/\V(t,工)+ pl(t. x) — uV(t, x) qEx)V(t;

=D4AB(Lrr) + gB(t7x)V(t,x) - cB(t:x') - mB(t7 x)V(t: x),

且具有齐次Neumami边界条件(2.2)和初值条件(2.3).

首先,关于模型(2.26),〔2*9)中的矩阵F⑴和K(x)退化为下面的常数矩阵
■(0 0 心「° 0).

\0 0 ) \-p u)

显然模型(2.26)始终有一个无病平衡点母=(To?0,0,0),其中To = %因此由文献 [41,章节3]可得下述结果.

引理2.8.对模型(2.26),病毒感染的基本再生数为

Ro =『(FL)=网⑴®.

au

当Bo > 1时,由假设(见)易知模型(2.26)有」个唯…的无抗体作用感染 平衡点民=⑺』用小其中Tx =吟鼻人二罟和% G (0普)是方程 你—号=0的唯一解.

下面,考虑模型(2.26)的抗体作用感染平衡点的存在性.定义模型(2.26)的抗体 响应的基本再生数

au 5

其中产二嵩?且由假设T* > 0是方程A-dT-打⑴卩* = 0的唯一解・

R. > 1时:可得模型(2.26)有一个唯一的抗体作用感染平衡点E2 = 其中T*和广定义如上’且

0pf(TWau

aq

2.8.由上述讨论可知注2.5-2.7中给出的无抗体作用感染平衡点民=(AUZO) 和抗体作用感染平衡点的存在性和唯一性,以及抗体响应的基本 再生数R.的计算是简单的,且很容易解决.

为了建立模型(2.26)中疾病灭绝和持久的阈值-类型结果,介绍下面的引理.

引理29若Rq > 1,则存在一个常数小> 0使得对任意的初值© =(加仏為伽)G X+,其中02老o冷3弄0且彷老0,模型(2.26)的解心)=仇订 卩仏对)满足

limsup ||-E0||x + 2 如

t―^oo

引理2.9的证明和引理2.6的证明类似,这里省略它.下面,介绍一个将在引理2.11 的证明中用到的结论.

引理2.10.假设Eo > 1,则对平衡点Ei⑺/”0)和V* = 占sign^ -厂)= sign(Rr - 1)成立.

证明.设厂〉o满足4二dr +刃(厂,根据假设(k2)可得广存在且唯一. 由于 A^dT. + ^ffTuV^ 则

的-厂)= /3[/(r,r)r- /(t1;旷)iq + 5[/(Tbr)r - /(rb ⑷呵

由假设皿)可知signer -耳)=sign"-厂).利用M(几=皿1和h =半: 可得 ‘

° 1卩讨n 刃⑺用)h 加住“卩讨(“)

局一1 = =

au a 厶 au au

[f(T\ 旷)-何”)+ f(T1:旷)-/d]

再次利用假设(兄):于是得到sign(E1 - 1) = sign(I4 - V*).证毕. □

2.9•作为引理2A0的直接推论,可得7?! > 1 O(叶:)“〉1:局< 1 O S:)% < 1 < = 1 O 哙世=1.因此,也可以定义模型(2.26)的抗体响应的基本再生数

为兔=―匹’由此提出一个有趣的开问题,即对空间异质模型(2.1),是否可以用 加)-需加定义抗体响应的基本再生数兄.

引理2.11.若&〉1且Ri > 1;则存在一个常数巾> 0使得对任意的彷+ 0;模型 (2.26)的解u(t,x) = (T(t卫)J£讣V也订Bx)满足

limsup ||讥')—四||_丫+ > 7/2- t―OO

证明.由于R. > 1?根据引理2.10可知 m 因为g>m^(g-- c = 0?所 以(° -肌)旳-O0.选择一个充分小的常数①使得

-耳2)— + 772)-00.

假设引理结论不翼即存在一个0 G X+且04 # 0使得

lim sup ||讥t厂)一Ei||x + < 阻

t->00

那么,存在一个充分犬的t2使得

Vi - r/2 <V(t,x) <Vr + %, x) < 772, t > t2, X gQ.

因此,由模型(2.26)的最后一个方程可得下面的微分不等式

段)=»△* 农工)+ (g — m)B(t:x)V(t]X)cB(t^x)

>D4AB(t,x) + g(Vi - i]2)B仏另)—[m(% + 饥)+ c0仏为).

考虑比较方程

3b(t z)

—力一 =x) + —耳 2)b(t〕x)  [m(Vi + r)2) + c]b 亿 x)y 其中t>o且z g忆且边界条件畔=0对任意的xedQ和方2 0都成立.设 0 = /i < Z2 < • • •表示满足齐次Neuinami边界条件的算子-△的所有特征值,则方程 (2.29)有特征方程

入 + 刀4『--耳2)+ +%) + c= 0, i = 1,2,••-.

对Z1 = 0,由(2.27)很容易可以看出特征方程有一个根入* > 0.因此比较方程(2.29) 有解b(t, x) = eH)如⑴且如仗)> 0对任意的0^2和z G Q成立.选择一个止常 数C使得列2;戈)2也3)对任意的z W Q成立•注意C0d)04(z)也是方程(2.29) 的解;因此根据比较定理:由(2.28)可得2 c"*d)04(z)对任意的t 2 t2和 x G Q都成立.这说明二oo,这与引理2.1中B(t,x)的有界性矛盾.证 毕. □

现在,陈述并证明模型(2.26)全局动力学的主要结论.首先给出关于无病平衡点全 局稳定性的定理:这是定理2.1的直接推论.

定理2.4.若Ro < 1,则模型(2.26)的无病平衡点Eq = (To, 0,0,0)在内是全局 渐近稳定的.

此外,给出关于无抗体感染平衡点全局稳定性的结论.

定理2.5•假设(1—罟詁)(焉罟—話)< 0对任意的f〉0和V>0成立.若7?0> 1 且Ri < 1,则模型(2%丿的无抗体赤用感染平衡点母=⑺」i”0)在X十内是全 局渐近稳定的.

证明.定义如下的Lyapunov函数

沿模型(2.26)的所有正解计算U2的时间导数:可得

+ / (1 —今)(刀2△/ + 刃⑺ V)V - al}dx

+ 汀(1 — ?) (D3/\V +pl- uV - qBV}dx

+ / M \ [ [n4AB + gBV -cB- niBV]dx p(g — m)Jq

由引理2.3可知

\\VT\\2dx.

因此,由(2.18)? A = dT± +鸽仏£)% =込=晋进一步可得

/(TbVlM I Vh f(T.V}\ X

tTOO tTOQ tTOO " ' tTOO
lim inf 2 5, lim inf
I(t:x) 2 5, lim inf V(t, x) > 5. lim inf > 6
下面证明模型(2.26)正解的…致持久性. 且
D3 = D,.若起0〉1且R, > 1,则存在一个常数5 > 0使得对模型(2.26)的任意 解"亿兀0) = (T(t,讣I也工m 工):B仏乂)),,且满足02 M 0, 03 M 0和04黑0,都有
2.11.显然对于函数二咼,f(Q)= 占7和f(^V)= ”—卩 可得(1 —趕計X器册—佥)W °对任意的卩〉°和V>o成立,
猜想
2.1 •假设(1 —几俘[[)))Ff畀J — W 0对任意的T > 0, V〉0和 z G Q成立•若禺〉1且血上册他W 1对Q成立,则模型(2.1)的无抗体作 用感染平衡状态民⑺=(甘3)」1(叭兀(讣0)在X+内是全局渐近稳定的.
当兄W 1时,由引理2.10可知VI <盘.因此,根据定理中的假设可以得到 <o.此外,讐二o当且仅当
t = r1? I = hy = %和B = 0时成立.因此,根据 LaSalle不变原理(参看文献[43,定理531]),无抗体作用感染平衡点民的全局渐近 稳定性得证.证毕. 口 2.10.根据定理25和注2/对于一般的空间异质模型(2.1)可得下面的猜想.

对xeQ 一致成立.

证明.首先模型(2.26)中T(t,x)的一致持久性与定理2.3中的类似.定义集合

X。= {0 = (01: 02:血;04)& X+ :如差 Q。3 壬 0, 04  0}-

显然可得

:= X十 \ Xq = {0 G X+ : 02 三 0 或 03 三 0 或 04 三 0}.

显然Xo是模型(2.26)解半流①⑴的不变集.定义

Md := {0 G X+ :①⑴》e dX.对任意的t 2 0成立}.

以①是①山0的u极限集,并且设集合M = {凤卫丄由于M)E°二凤且

①(t)Ei = El对任意的t > 0成立,则胚C 5&M现在证明U旅%⑴少)c Ml.

对任意给定的Q e Mq.由于①(t)0 € ax0对任意的t > o成立,那么I")三o或 V(L对三0或B(t: X)三0对任意的t > 0成立.

若三0,由于Tg)有一个正的下界:则根据假设(HJ和模型(2.26)的第 二个方程可以得到V^x)三0.所以由模型(2.26)进…步可得如下的子模型

dT[)= D.AT(t,x)+ a — dry

仔、 e Q, t > 0,

—才—=工)—cB(t)x). (2.31)

零=勢“,讥料〉0.

on on

显然由引理 2.2 可知 lim^ >oc T(tx) = Tq 且 lini—x = 0.这说明 e(0) = Eq.

若IZ(M)三0,则由模型(2.26)的第三个方程可得/(帥)三0.类似的,也能得到 子模型(2.31).因此:ligTxT(rz)=币且liniix巩敷)=0.这说明讥0) = Eq.

若仔仏工)三07则模型(2.26)变成一个无抗体的子模型

匹霁 =戈)+力—dTt)-你(讹z))U亿讥

―打=D2AI(t^ x) + 亿工))]/(「2;) - al(t. x).

[)=(/,x) +p/(t卫)—uV

V-V^V.ln— dx,

n-

利用与定理2.5证明中类似的理论,计算可得念沿模型232)解的时间导数为

何川)

f(T,V}V h V.I f(T,V^

I Vh f(T,V)\ X

P 丿 Q V2

利用定理2.6中的假设:显然<0对任意的T > 0, O 0和V 2 0成立;并且 讐=0说明T = Tb / = A且V = 因此,房(兀%)对模型(2.32)是全局渐近 稳定的.因此,

lim (T{t. x\ I{t, x).V{l. x}} = (T1? JI)对任意的 rr GQ 一致成立.

tTOC

这也说明s(°) = Ep由上面的讨论可得U從m护(0) c M\.因此:最终可得 U0€M8®9) = M\.

定义一个连续的函数P : X+ T 为

利用与定理2.3中相似的理论,可知p对半流①⑴:X+ T小是广义的距离函数.

此外,曰引理2.9和2.11也可得旷(爲)np i(O;+x) =0和川丫爲)防i@+x)= 0,其中Ws(EqWS(E^分别是平衡点EoE\的稳定集.观察可知中没有子 集构成dX。中的…个环.由引理27,由模型(2.26)生成的半流即):X+ t X+在 X+内有一个紧的全局吸引子.则由文献[46,定理3]可知存在一个常数5 > 0使得 liiniiiffTocP®(i)0) > 5对任意的0 € X。成立.这证明了结论中感染细胞:病毒和抗体 的一致持久性.证毕. □

注2.12.由定理2.6和注2.9,与注2. W类似,对于…般的空间异质模型也可得下面的 猜想.

猜想22假设(1-册刊(册旱—洁)W 0对任意的T>^V> 0和 X 6 Q都成立.若尽> 1且(呵-甞)“)> 1对⑦£ Q成立,则存在一个常数 6 > 0使得对于模型(2.1)的任意正解 皿* = (T亿讣/亿叭V亿叭〃亿巧)都有 limiiifigT亿 z) > “ lim infix":玄)> 5, liminf^^ rr) 2 d 和 limmf^130 2 j对z G Q —致成立.

最后,讨论抗体作用感染平衡点的全局稳定性并给出下面的结论.

定理2.7.假设(1 — J)(—苔)W 0对任意的71 > 0和V > 0成立.若 Ri > 1,则模型(2.26)的抗体存在感染平衡点E* = 在X+中是全局

渐近稳定的.

证明.定义如下的Lyapunov函数

沿模型(2.26)的任意正解计算U,的吋间导数,可得

因此,由(2.18), (2.30), A = dT^+(3f(T\V^ 和 Bf(T\V^ = aF =晋1+葺二 可以进一步得到

f(T,V)V r VU /(T,V*)i

f(r^V^7~VP~ f{T,V}\dX

朋)(営-1

7脊宀冋心叭薯血

因此,由定理的假设可得<0.此外,晋=o当且仅当T = r且V =旷吋成立. 结合模型(2.26)可知/二厂且行=口,因此:由LaSalle不变原理(参看文献[43,定 理5.3.1]),抗体作用感染平衡点E*的全局稳定性得证.证毕. 口 注2.13. 注2〃和2戊类似,对于一般的空间异质模型给出下面的猜想.

猜想2.3.假设耳> 1且皿)品时)〉1对x e Q成立,则模型(2.1) 有一个抗体作用感染平衡状态E^x)=(厂(讣厂(讣厂仪)尸(妨)・此外,若(1- 於眾)))(%异?-忐j) < 0对任意的T>0,V > °和xeQ都成立,则平衡状态 0仗)在X+内也是全局渐近稳定的.

2・4数值模拟

本节给出完成一些数值算例来举例说明2.3节中得到的结论,并且验证2.3节中的 猜想.

例1:在空间齐次模型(2.26)中分别选择非线性发生率J(T.V} = ,+冋阳 =h[T, y)和f(T,v)= -血⑺V);其中心和F是非负常数.那么很容易得到

函数 fi(T, V) 满足假设(1 — 器)(倡聖-首)W 0 和(]_ #(;;)))(_ 苔)§ 0, 但函数f‘2(T)V)不满足上述假设.选择参数A = 10,d = 0.01,a = 0.5,p = 0.4,u = 3,5 = 1, nx = 0.01. Dy — D2  0.09648, D3 — — 0.17.此外:/3, m. p, c 和 被选择

作为自由参数.

(i) . f (T, V)  Ji(T? y);选取参数 0  0.03, m  1.5, g = 2】c = 1.5 且 — 0.001, 计算可得i?0 = 4〉1且兄=0.7885 < 1.由图2.1可知无抗体作用感染平衡点 Ei(146.5848? 17.0683,2.2758,0)是渐近稳定的.

(ii) . f(T,V)  /i(T, V),选取参数 0 = 0.06, m  0.5, g = 2》c = 1 且 — 0.01,计 算可得凡=1.3790 > 1,由图22可知抗体作用感染平衡点£*(655.2601,6.894& 0.6667; 1.1369)是渐近稳定的*

(iii) . f[T, V) — /2(T, V)7 选取参数卩—0.08? m  1.5, g = 2? c = 1.5 且 — 0.01, 计算可得Rq = 1.9394 > 1且兄二0.8321 < 1,由图2.3可知无抗体作用感染平衡点 £1(88.2353,18.2353,2.4314,0)是渐近稳定的.

(iv) . /(T, V) — f2(T. V),选取参数 0 = 0.06, m — 0.5, g = 2、c = 1 且 = 0.01,计 算可得= 1.3875 > 1,由图24可知抗体作用感染平衡点£*(653.1129,6.9377,0.6667, 1.1626)是渐近稳定的 结论,即验证猜想2.1-2.3成立.不失一般性,假设/(时)=册了显然,J(「V)= 占使得假设-詰船)(塔晋-為)< o和(1-册缶)(卅1-冷)< 0 成立.选取参数 d{x} = 0.01 + 0.005sin(27rx)?p(^ = 2.9 + 0.05sm(2ra)?w(x)= 6 + 0.05sin(27rx)? g(x)二 0.006 + 0.0005 sin(27rx); = 0.2 + 0.005 sin(27rx), c(rr)= 0.3+0.005 sin(27rx)?= 0.09+0.005 sin(27rx)? d^ix]  0.17+0.0005sin(27rx)? d3(J 二 0.05 + 0.005sm(27rx), d4(x) = 0.2 + 0.005sin(27rx).此外?选择人仗):a(rr)和 g(x) 为自由参数.

  • .验证猜想 2丄选择参数 4⑴=l + 0.05sin(27rrr), = 03 + 0.002sin(2^),

a=1 + 0.05 sin(27rx), g(x) = 0.2 + 0.005sin(27rrr).

通过计算基本再生数Rq〜1.45 > 1冲宓{(何—寫)用何}二0.3356 < 1?得到 的数值模拟在图2.5中给出.由图2.5可以看出无抗体作用感染平衡状态E]二 ⑺(讣厶(对用(讣0)是仝局渐近稳定的.

  • .验证猜想 22 选择参数 4(龙)=10+0.05血(2砲)』1 ⑴=08+0.002sin(2ra), a=0.3 + 0.05 sin(27rrr), g(x)= 1 + 0.005sin(27rrr).

通过数值算例:可知存在一个常数6 = 0.3857 > 0?使得liminf^oc > 5, liininffTx/(「z) > 5, liminf^oo Vit.x) 2 d 和 lim inf^oo 2 d 对 x E Q 一致成 立.

(hi).验证猜想2.3,选择与猜想2.2中相同的参数.

计算可得基本再生数心128.8889 > 1,min{%):£} = 1.02 > 1?得 到的数值模拟在图2.6中给出.由图2.6可以看出抗体作用感染平衡状态E^x)二 (厂也),厂⑴J"⑴/辿))是全局渐近稳定性的.

在下面的图 2.1-2.6 中,(必◎ C)和(〃)分别表示 T{t,x\I{t.x},V{t,x)B(t,x) 的时间序列图.

2.5结论

本节分别讨论了在空间异质环境和空间齐次环境下具冇体液免疫和非线性发生率 的反应-扩散病毒感染模型的全局动力学.首先在空间异质的环境下得到了病毒感染的 基本再生数起°,并且在空间齐次的环境下得到了抗体响应的基本再生数Rv通过运用 反应-扩散方程的比较定理'Liapunov函数方法以及动力系统的持久性理论建立了无病 平衡点,抗体不发生作用感染平衡点和抗体发生作用感染平衡点全局稳定的阈值条件, 以及模型所有正解一致持久的阈值条件.

图 2.1;选取初值 T(O^) = 80,1(O.x) = 2, VM = 0® = 0.2 时:无抗体作用

感染平衡点^(146.5848,17.0683,2.2758,0)是渐近稳定的.

在数值算例1中选择两个非线性发生率函数一个是g V)=讦”十川十机讪" 另一个是f(T.V)= 金这有效的证明了 23节中的理论结果.我们也可以看出 虽:然非线性发生率二 占'不满足定理2.5和2.7中给出的假设,但是平 衡点耳和0仍然是渐近稳定&L这说明假设(1 - 册)(册-器)W 0和 (11 彳(狀1 越)W °可以被改进,

在数值算例2中选择非线性发生率函数/(T,V)=耳治满足假设(1- 一詁右)w o和(1 —吕眾)))("磊捫-咼j) Q 0-这证明了 空间异质模型与空间齐次模型有相似的结论,即验证了猜想2丄23

在生物背景方面,阈值动力学对于疾病控制来说很重要.本节得到了若禺> 1且 R. > 1?则模型在空间齐次的情况下将会持久.因此,可以选择合适的参数使得局< 1 < < 1?则疾病将会灭绝.根据Rq和兄的表达式可以看出如果满足下列两种方法

之一,疾病就会灭绝:(a)减少病毒的产生率](6)提高感染细胞和病毒的死亡率.

很遗憾在本文中,除了无感染平衡状态的的全局渐近稳定性,感染细胞和病毒的一 致持久性[对于空间异质模型没能得到更多的结果.注2.5-27,注2.9和猜想2.1-2.3说 明还有很多开问题等待解决.

此外,当病毒感染与抗体和细胞毒性T淋巴细胞(CTL)免疫反应发生交互作用 时:会产生三种时滞:细胞内时滞,病毒复制时滞和免疫反应时滞(参看文献[48-刃]> 并且在病毒感染的传播过程中通常存在着非线性发生率(参看文献[51])*因此,就可以 得到一个有趣的开问题,即在具有抗体和CTL免疫反应,时滞和一般的发生率的反应 扩散病毒感染模型孔是否可以在基本再生数的计算,平衡点的全局稳定性和疾病的持 久性屮得到类似的结论”这些问题将在之后解决.
图 22 选取初值 f(0卫)=80, 1(0,x} = 2, V(Q,x) = 0.5, B(0?rr) = 0.2 时]抗体作用感 染平衡点 5*(655.2601.6.8948,0.6667. L1369)是渐近稳定的.

 

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图2.5:选取初值为7(0. X)= 80 卫)=$ U(0皿)=1, B(O^) = 500时,无抗体作 用感染平衡状态民仗)=(八⑷』⑴"13)4)是全局渐近稳定的.

图26选取初值为f(0e)二80? l(0f x) = 3;卩(0卫)=1, 0(0卫)=500时,抗体作用感 染平衡状态E^x)=(厂⑴」*(讣旷(讣矿(训 是全局渐近稳定的.

3 一类具有体液免疫的宿主内部和宿主之间的疾病传播耦
合模型

本节讨论一类具有体液免疫的宿主内部和宿主之间疾病传播耦合模型,利用极限 系统的思想将模型分解成宿主内的快时间子模型和宿主间的慢时间子模型;分別在快: 慢子模型中得到平衡点的存在性以及平衡点稳定性的阈值条件,并且得出慢时间子模 型中可能出现后向分支.

3.1模型建立与预备知识

本节讨论一种环境驱动的病毒感染模型,例如流感.流感是由流感病毒引发的一种 传染病.流感病毒主要通过污染的环境,人与人的接触以及空气中的飞沫传播.人群是 流感病毒的易感者,既可以通过中间宿主(感染人群)被传染,也可以通过直接摄入环 境中的病毒被传染.进入人体的流感病毒如果不被特异性抗体灭活,则可以发生感染并 产生子病毒感染邻近细胞•这一过程可以被描述为细胞:病毒和B细胞之间相互作用的 宿主内部的病毒感染模型(参看文献[52-54]).当人被流感病毒所感染,他会作为一个 新的感染源通过共用毛巾,手帕等物品传染其他健康的人.人体内的流感病毒数量与感 染人群的数量共同决定了环境的感染水平.因此,对于种群层面上的传染病,考虑传染 病模型为SIE模型.

首先给出宿主内部具有体液免疫的病毒感染模型;其仓室图如图3.1所示:

图3.1:易感细胞T以速率Ac产生;并能被病毒V感染变为感染细胞感染细胞死 亡后生成新病毒•体内的B淋巴细胞受到病毒刺激后’分泌合成抗体进入血液'并与病 毒发生特异性免疫反应.

^kVT - (m + d)T:

(3.1) =pT - eV - qBV,

—(xBV ojE)

其中s表示宿主体内细胞,病毒和B细胞的动态演化时间,T = TH,厂=厂(乩 V =卩(s)和0二B(s)分别是s时刻易感细胞'感染细胞,病毒和B细胞的密度.

是易感细胞的补充率;k是细胞的感染率’ m表示细胞的自然死亡率,d表示细胞的因 病死亡率:p是病毒的产生率,c是宿主内部病毒的清除率;q表示B细胞的中和率,a 为B细胞的产生率,⑴是:B细胞的死亡率.

需要注意的是,由于宿主个体的差异,每个宿主体内易感细胞,感染细胞,病毒和B 细胞之间的相互作用动力学模型(31)是不一样的,也就是参数A, k, m, d, p,q, a 和e等可以是不相同的.然而,为了问题的简化,在本文中假定可以对所有宿主个体取 这些参数的一个平均值,使得模型(3.1)可以描述所有宿主个体内部易感细胞,感染细 胞,病毒和B细胞之间相互作用的一个平均值.

对于种群层面上的疾病传播,假定疾病是通过环境中的病毒传播的;即染病者将体 内病毒排放到了环境中:易感者接触环境中的病毒被感染得病.此外:假设环境病毒污 染率与染病者的数量成正比,且具有形式仇/.由此,给出宿主之间的SIE传染病模型;

其仓室图如图3.2所示:

j - XES -

=入ES — (“ +小厶

=仇/(] — E) —

其中t表示宿主之间和环境病毒的动态演化时间,S = S(t)和I = I(t)分别是t时刻 易感者和染病者的数量,E = E(t)t时刻环境中病毒的密度.表示易感者的补充 率:入表示污染环境中宿主的感染率:位和/分别为自然死亡率和因病死亡率.

上面分别给出了宿主内部的病毒感染模型和宿主之间的SIE传染病模型.但在实 际情况中,病毒污染的环境会对宿主体内的病毒密度产生一个增量,同时环境病毒污染 率不仅依赖于染病者的数量,也依赖于宿主体内病毒的密度.因此,可以得到宿主内部

图32易感者S以速率产生,并能被污染环境E感染为染病者;且染病者又可以 继续污染环境.

和宿主之间的耦合模型,其仓室图如图3.3所示: =AC — kVT mT.

=kVT - (ni + d)T\

=g(E) + pT* _ eV _ q

—dBV (vB,

=Ah - XES - “S,

=XES-^ + 6)I,

图3.3:宿主内部的病毒感染模型和宿主之间的SIE传染病模型通过病希V和环境污 染E联系起来.

这里,函数g 表示环境病毒对宿主内部病毒密度的影响:G^VI表示染病者数量 和宿主体内病毒量共同对环境病毒密度的影响.假设g(E)具有下列性质:

^(0) = 0, g(E)2 0, gf{E) > 0, /(E) < 0. (3.4)

g(E)最简单的形式是线性函数g(E) = aE,其中a是一个正常数.g(E)也有其它形式, 包括0(E)二qE/(1 + bE)和92(卫)二個(0 < g < “其中q和b是正常数.

3.2模型分解

在模型(3.3)中存在着两个时间,一个是宿主体内易感细胞,感染细胞,病毒和B 细胞的动态演化时间s,另一个是宿主之间易感者,染病者和环境病毒的动态演化时 间t.止如文献[22, 26]所指出的,宿主体内的时间s是一个快时间:而宿主之间的时 间t是一个慢时间.通常情况下S要比t快的多:因此可以假设I = ES,其中E是…个 非常小的正数.这样,模型(3.3)可以看成是如下一个快时间子模型和一个慢时间子模 型的耦合:

=AC — kVT - mT,

=A;VT - (m + =g(E(t})+pr -eV-qBV,

—dBV ajB.

使用极限系统思想:不失一般性,假定快时间子模型足够快使得环境病毒E保持 一个常数:也就是说E不会随快时间的变化而变化,即E(t} = E.在慢时间子模型中 假设宿主体内病毒V已经到达了一个平衡状态,即V = V(E)t则进一步可得两个独立 时间的快慢子模型:

f AT

—=AC 一 kVT - mT.

—=kVT-(m + d)T\

< HV (3.6)

—-=g(E) + pT^ - eV - qBVy

——=aBV LdB,

=Kh - XES - “S:

=XES — (“ + 6)厶

=00叫&)/(1 — E) ^E.

根据极限系统理论,两个独立时间的快慢子模型(3.6)和(3.7)的动态性质可以近 似代替整个耦合模型(3.3)的动态性质,并且当慢时间t和快时间s之比、&越小时, 它们的近似程度就会越高.因此,本节将对两个独立时间的快慢子模型(3.6)和(3.7)

开展研究.

3.3子模型(3.6)分析

根据子模型(3.6)的伎染病学背景:假定子模型(3.6)的任何解(T(s):严GK): 满足如下初始条件:

T(0) > 0? r(0) > 0, V(0) > 0, B(0) > 0. (3.8)

首先,关于子模型(3.6)的满足初始条件(3.8)的解的正性和有界性:可得下述结果’ 定理3.1.子模型(3.6)满足任何初始条件(3.8)的解(T(s)T(dl()/G))对任 何0是正的和最终有界的.

定理3.1的证明是简单地,这里省略.对于子模型(3.6),分別考虑E = 0和E>Q 两种情况.首先分析E = 0的情况.分别定义病毒感染基本再生数和抗体响应基本再 生数

=kpT{} apk^Kc

- + d)7 山-c0(m + 心曲 + 机q) 5 '丿

其中To = 是无感染时易感细胞的总数.显然;无病平衡点 = (To,0,0,0)始终存 在.当汕°〉1时,存在一个无抗体作用感染平衡点5 =(几耳”0);其中

砖护呛(1—叫J

兄0 m + d 兄o k

当% > 1时,存在一个抗体作用感染平衡点U2 = 其中

定理3.2.若% < 1;则无病平衡点UQ =(人口0,0)全局渐近稳定.
关于上述三个平衡点的稳定性,可得下述结果.

定理3.2的证明根据文献[55]可得,这里省略.

定理3.3.若R> 1,而7U < 1:则无抗体作用感染平衡点S = (T1?T;,Vb0i全局 渐近稳定.

证明.选取Lyapunov函数如下:

当瓦1 W 1时,计算可得H <牛因此,对任意的{T.T\V.B\有<0.此外,当且 仅当T = T、T =T^V = V,时冇 =0.进一步当V = 14时可得B = 0.因此: 由LaSalle不变原理[23]可得,平衡点U\全局渐近稳定.证毕. □

定理34若汕°〉1和R祖> 1,则抗体作用感染平衡点U2 =⑺卫巴卫)全局渐 近稳定.

证明.选取如下Lyapunov函数

_tT , T "丄河厂1厂 H丄皿+ dw(V 1 V n
仏込-ln--l)+T2(--ln—-1) + -^16(- _ 山辽 _ 1)

H2沿着子模型(3.6)的解求导数,可得

当兄1 > 1时:对任意的有< 0.此外:当且仅当t = DT = 右T二为右警=0.根据子模型(3.6)也可得B = B2.由LaSalle不变原理可得,平

衡点U2全局渐近稳定.证毕.

下面分析E > 0的情况.定义抗体响应基本再生数如下
r + d)(ke + ma) +

® cu)(m + d)(kB + ma)

此时子模型(3.6)没有无病毒感染平衡点,而无抗体作用感染平衡点U(E) = (T{E\ 始终存在,其中

V(E) = -^E)+Pr(E)),厂⑹二 市⑺—卩⑻),八另)=評]—$卅—4讥

「 _ (3.10)

且冷-4恋> 0.此外,可以证明对任何E>0?都有戶(E) < 0和f(0) < To.于是,对 任何E>0;子模型(3.6)存在唯一的无抗体作用感染平衡点(E).关于U{E)的稳定 性可得下述结果.

定理3.5.若凡< 1,则无抗体作用感染平衡点U(E)=(兀E)亍@)〒0),0)全局 渐近稳定.

证明.构造Lyapunov函数

H3 =亍(£ -lnJ-l) + 产(二—hi 二—1) + 匕锂讥Y -lnX-l) + 0 + ")B

T T T* P V V aP H3沿着子模型⑶6)的解求导数,可得

=(1 一 |)(AC - kVT - mT) + (1 — ^){kVT - (m + 忙

+ZL±^(1 - *(g(E) + pT - eV - qBV) + 回 + ⑺前-[3B- r)BV} p V ap

TT T VT" *TV

ftT(2 -〒-亍)+ 何 + d)T(3J
J机+E)_ I _ F)++_ *
p V P "

当7?w < 1时,可得卩W £因此'对任意的(T.T\V,B)有< 0.此外,当且仅 当T = f, = r和V =卩时,常=o.当y = r可得B = 0.因此,由LaSalle不 变原理得知,平衡点U(E)全局渐近稳定.证毕. 口

当兄> 1吋,子模型(3.6)有唯一的抗体作用感染平衡点(/(E)=(亍(E)(E), V(E\B{E)\ 其中

qu)(ni + d)(kuj + ma)
关于丙E)的稳定性可得下述结论.

定理36若兄〉1,则抗体作用感染平衡点U(E)=(亍(E)(E)$(E)(E))全 局渐近稳定.

证明.构造Lyapunov函数

+^±^(1 — ¥)(g(E) +pT* -eV- qBV) + 如 + ")(1 — —rjBV)
对见沿着子模型(3.6)的解求导数,可得 竽=(1- |)(A
C - kVT - mT) + (1 -点)(2 - (m + 忙

p V ap B

川e T 讥,用务 T Vr PTV「(m + d)g(叽 V 0、

=mT(2-f-T) + fcVT(3-r-WWFHp

显然,对任意的(TTME)有 < 0.此外,当且仅当T = f.严二存和V = “ 时,^ = 0.当V =矿时可得B = B.因此,由LaSalle不变原理得知,平衡点U(E) 全局渐近稳定.证毕. □

3.4子模型(3.7)分析

根据子模型(3.7)的传染病学背景,假定子模型(37)的任何解(S⑴」(饥月⑴)满 足如下初始条件:

5(0) > 0, 7(0) > 0, 0<E(0)< 1. (3.12)

首先,关于子模型(3.7)满足初始条件(3.12)的解的正性和有界性,可得下述结果.

定理3.7.子模型(3.7)的满足任何初始条件(3.12)的解(S(0/("⑴)对任何t 2 0 是正的和最终有界的,并且满足0 < E(t) < 1.

定理3.7的证明是简单地,这里省略•在子模型(3.7)的第三个方程中存在V(E\ 它是快时间子模型(3.6)在E>0时宿主体内病毒V最终达到的平衡状态.根据上面 的讨论得到7(E)有下面的表达式:

1 〜

-©(£)+ PT\E)l c

Rw > 1.

因此,下文根据卩(E)的两种不同形式,分别对RW^1^RW> 1,也就是抗体不发生 作用和抗体发生作用两种情形对子模型(3.7)进行讨论.

3.4.1抗体不发生作用情形

此时,在子模型(3.7)中V(E) = g(g(E) +pT^E}).显然:子模型(3,7)始终有一 个无病平衡点“° = (So,0,0).对于子模型(37),定义基本再生数

pmTQ
c(m + d)

显然:若R^q < 1,则RbQ < 0;若兄° = 1,则Rbo = 0;若兄o > 1,则Rbo〉0;且 若皿2 1,则汕o > 1.

设市二为子模型(3.7)的地方病平衡点(即S>Q,I> 0和方〉0).则 由子模型07)可得

Ah
入元+ /

定义函数如下:

F(E) = (1 — ERE), G(E)=[J + 计鶯)H(E) = F(E) - G(E).

设= maxowEQH(E).关于子模型(3.7)的地方病平衡点的存在性得到结果如下:

引理3.1.们模型(3.7)始终有一个无病平衡点Wo(恰0,0).

(讷模型付.7丿有一个唯一的地方病平衡点八0)当且仅当下列条件之一 成立;

(a) RbQ = 1 且 Hm > 0; (b) 7?b0 > 1 ■

(沁)模型(3.7丿有两个地方病平衡点巧(Si/月)和W2(S2,h,E2)当且仅当下 列条件成立;

  • Rg< 1 且 Hm >

(汕模型(3.7)只冇一个无病平衡点Wo(牛Q0)当且仅当下列条件之一成立;

  • Hm< 0; (£丿 Abo = 1 且 Hm =

引理3,1的证明是简单地,看文献[56],这里省略.引理3.1的结论(m)表明子模 型(3.7)可能存在一个后向分支.下面讨论子模型©7)的平衡点稳定性,得到下列结 果.

定理3.8. (a)Rb< 1,则子模型(3.7)的无病平衡点听局部渐近稳定.(b) 甌> 1;则平衡点M不稳定.

证明.首先证明(亦子模型(37)在无病平衡点Wo(S°口 0)的Jacobian矩阵为

  ―卩 0 -入S°
佃)= 0 -(“ +『) 入So
  0 % 卩(0) -7

故特征方程为:

(x + “)\x2 + 龙(“ + 6 + 7)+ 了(“ + 6) - XSqOqV(0)] = 0.

显然上述特征方程冇一个特征根 *卄 0,并且特征根物由二次方程

X2 + 吠“ +》+))+ 7(“ + 小—入 S(A 卩(0) = 0

所决定.若兄。< 1,则7(0)=。此时乂2 = —(“ + 6) 7 x3 = -7 < 07因此1¥0局 部渐近稳定.若汕° > 1?则7(0) = % =吧旷1\此时x2 + x3 = -^ + 5 + ^< 0? 叼巧=C — ASo^oV(O) > 0:因此」2 < 07叼< 0:故“0也局部渐近稳定.

对(b),若> 1,则叽 =+小—入SM币(0) < 0,因此特征方程有…个正实 部特征根•于是平衡点M不稳定.证毕. 口

定理3.9•若引理3.1中的条件仏丿和(b)之一成立,则唯一的地方病平衡点W^S\I\E^ 局部渐近稳定.

证明.首先,设 K(E) = V(E) - - E).则对 E〉0 有 K\E) > 0.又因

为 K(o) = 7(0) 2 0,因此,对 E〉0 有 K(E) > 0.模型(3.7)在 八罗)

的Jacobian矩阵为

—入0 0 -A5*

』("*)= 入 E* —(“ + 6) 0 ?

0 仇卩(罗)%/*『(&*)(1 一 E*) - 0orV(E^ - 7

它的特征方程为

*+加2+加+% = 0,

其中

J2 =入£“ + 2“ + d + K(E*) + 丁 > 0:

ji =(入0 +“)(“ + §) + XS^oV(E^ > 0,

Jo =(入E* +“)(“ + <5)0()/*K(0) + 丁(入E* + “)(“ + §)〉0・

由于

JU2 -Jo =(AE* + 2“ + d)[(0 + “)(“ + 6) + XS%V^)]

+ 0o/%(罗)[入S*仇巩刃)+7] > 0,

故由霍尔维茨判据可得局部渐近稳定.证字. □

对于有两个地方病平衡点"1和甲2的情况;很难用线性化的方法讨论其局部稳定 性.然而可以给出下列猜想.

猜想3.1假设Rb0<lHm〉0,设函(Si百民)和皿⑸,瓦禺)是模型(3.7) 的两个地方病平衡点,且Ei < E2.则卬2局部渐近稳定,M不稳定.

以上研究结果表明,当宿主体内抗体不发生作用,或者抗体作用水平太低时'宿主 之间的疾病传播将是比较复杂的,它会在基本再生数小于1时,存在两个正平衡点,即 可以发生后向分支,这将对宿主之间疾病的治疗和控制产生较大困难.

3.4.2抗体发生作用情形

此时,在子模型(3.7)中V(E) =是一个不依赖于E的正常数.于是子模型(Rbi =

其中So二牛为无感染时宿主的总数.无病平衡点TVo = (S山0:0)始终存在,且地方病 平衡点

帀 _ 尺 7 币—(%人山 + 7” + 〃) 丁"(厲>1 — 1)"(厲>1 — 1)

T「丿T 细入+必 血(入+心 T +隔1丿

存在当且仅当Rbl > 1.下面讨论上述两个平衡点的稳定性.

定理3.10.若Rbl < 1,则无病平衡点Wo全局渐近稳定.

证明.选取Lyapunov函数

9 Q

厶o 二 %( - — In-— 1) + / +

对Lo沿着模型(3.13)的解求导数;可得

—7^ =(1 — )(A/i —入ES — “S) + XES — (“ + 5)1 + "二 (%-/(I — E) — 丁E)

Clt O UQ— Q

=“So(2 - ) + 門 1)(% - 1)E — (“ + "IE.

Do Q ^0~

显然,当Rbl < 1时,对任意的(5厶叭有< o.此外,当且仅当s = s..i = n 和E = 0时? ^ = 0.由LaSalle不变原理可得,平衡点全局渐近稳定.证毕.□

定理3.1L若Rbl > 1,则地方病平衡点F全局渐近稳定.

证明.选取Lyapunov函数

_ q Q _ T T

厶严進-1乜-1)+勺-气-

对Li沿着模型(3.13)的解求导数,可得

显然,当Rbl > 1时,对任意的⑸九/⑴卫⑴),有< 0.此外,当且仅当S = $ / = 了和E =卫时,警=0.由LaSalle不变原理可得,平衡点 > 全局渐近稳定.证 毕. □

定义p=^则卩表示宿主体内B细胞的总数.此时,基本再生数变为:

“ + 6 P7

Rbi可以看出,随着宿主体内B细胞数量p的增加:宿主Z间疾病传染子模型(3.7) 的基本再生数逐渐减少,并且可以小于1.当仇1 = 1时得到p的临界值为:

XSq

根据定理3.10和定理3.11,可得如下推论.

推论3丄若宿主体内B细胞数量p > pQ,则宿主之间疾病将灭绝;反乙若p < po; 则宿主Z间疾病将持久.

推论3.1表明,增加易感者和染病者体内B细胞的数量,可以非常冇效地控制疾病 在宿主之间的传播.然而,增加易感者和染病者体内B细胞的数量的主要手段是开展积 极有效地治疗和接种免疫.因此,当一个地区出现某种传染性疾病时'积极开展犬面积 有效的接种免疫,及时收治已经感染疾病的病人,并进行有效的治疗‘是及时有效地控 制疾病传播的重要手段之一.

3.5数值模拟

本节中利用一些数值模拟数验证3.4节中的理论结果.在模型(3.6)和模型(3.7) 中假设s = Kt和t =[討不失一般性:选择K = 366.

例1:当抗体不发生作用吋2验证猜想3.L选择函数9(E) = aE.选择参数 Ac = 6000, k — 1.5 x 10-6, m  0.3// = 0.15: c  60, Ah = 4:入=0.0006, u  0.0004,5 O.OOO4,0o = 1.5 x 10-1Q,7 = 0.015,a = 4x 10s,p= 955.

计算可得基本再生数 凤o = 0.9167 < 1且Hm = 2560.5233 > 0.因此,当 抗体不发生作用时,子模型(3.7)有两个地方病平衡点1^(9763.63418.18,0.0161) 和r2(6752.04,1623.97; 0.3207).图3.4中给出的数值模拟说明也是局部渐近稳定的, 且是不稳定的.

例2:当抗体发生作用时,验证无病平衡点用。和地方病平衡点¥的稳定性,即 验证定理3.10和3.11.
图 34 分别选取初值(S(O)J(O)R(O)) = (8500,600,0.15), (8000,800,0.1), (6000,2000,0.4) 和(9000,500,0.05)吋S(t)J⑴』(t)的解轨线.

  • .验证无病平衡点IVq的稳定性.选择参数M 7;入=9 x 10_5?w = 8 x 10~5,5 = O.O6,0o = L5 x lO"6^ = 2, a = 2,7 二 0.015.计算可得基本再生数 Rbi二0.0042 < 1.图3.5中的仏)说明无病平衡点 听是全局渐近稳定的.
  • .验证地方病平衡点W的稳定性.选择参数=1000,A = 001® =

 

0.013,5 = O.OO4;0o = 4 x 10~7^ = 4,a = 2?7 = 4.8 x 10~6.计算可得基本再生数 Rbi = 754.1478 > 1.图3.5中的(b)说明地方病平衡点¥是全局渐近稳定的.

图 3.5: (a)选取初值(S(0) J(0)工(0)) = (18900,1233,2340))时 S(f)』(t)/(f)的解轨 线.(b)选取初值(S(0)』(0)工(0)) = (15000,1000,30000))吋S⑴』(伉£⑴的解轨线.

3.6结论

本节讨论了一类具有体液免疫的宿主内部和宿主之间的疾病传染耦合模型.首先 使用极限系统原理,将整个模型分解成宿主体内细胞,病毒和抗体之间相互作用的快时 间子模型和宿主之间易感者,染病者和环境毒物之间相互作用的慢时间子模型.对于宿 主内的快时间子模型,建立了无病毒感染平衡点,抗体不发生作用感染平衡点和抗体发 生作用感染平衡点的全局稳定性的阈值准则•对于宿主间的慢时间子模型;分别对宿主 体内抗体不发生作用和发生作用两种情形进行了研究.当抗体不发主作用时,得到基本 再生数小于1时存在两个地方病平衡点?即存在着后向分支,因此慢时间子模型有复杂 的动力学行为.而当宿主体内抗体发生作用时'建立了无病平衡点和地方病平衡点的全 局稳定性的阈值准则,此时慢时间子模型有简单的动力学行为.

本文的研究结果表明:宿主体内抗体的作用对控制宿主之间疾病的传播具有非常 重要的作用,在没有体内抗体作用,或者抗体的作用很弱时,猪主之间疾病的治疗和控 制是比较复杂的,因为存在着后向分支现象•而在抗体发生比较强的作用时,宿主之间 疾病的控制则相对容易的多,因为模型的平衡点是全局稳定的,特别地当宿主体内抗体 细胞达到…定水平时(这个…般可以通过对易感者注射疫苗和对染病者进行治疗的方 法达到),可以使宿主之间疾病传播子模型的基木再生数小于1,从而疾病在宿主之间将 最终灭绝*

 

第四节总结与展望

4总结与展望

本文以具有体液免疫的病毒感染模型为研究内容,主要结果如下:

一、 本文在第二节讨论了具有体液免疫和非线性发生率的反应■扩散病毒感染模型 的全局动力学行为.即在2.2节和2.3节中分别计算了空间异质模型与空间齐次模型中 的基本再生数,探究了平衡点的存在性.并且利用Lyapunov函数方法和动力系统的持 久性理论分别讨论了两个模型中平衡点的稳定性以及系统的持久性.

二、 本文在第三节讨论了具有体液免疫的宿主内部和宿主之间的疾病传播耦合模 型.利用极限系统的思想将模型分为宿主内部的快时间子模型和宿主之间的慢时间子 模型,分别计算了两个子模型的基本再生数"寸论了平衡点的存在性并给出了平衡点稳 定性的阈值条件.并且得到当宿主内的抗体达到一定水平时,可使疾病在宿主之间灭绝.

虽然本文取得了一些比较好的结论,但是在病毒感染模型方面还有很多问题值得 探究比如:

  • 如果在本文的第二节中考虑CTL免疫以及细胞对细胞的感染,能否用一个连 续正算子的谱半径来定义病毒感染的基本再生数;能否利用Lyapunov函数方法得到模 型平衡点的全局稳定性;能否利用持久性理论证明模型的所有正解都是一致持久的?
  • 在本文第三节的慢时间子模型屮,当抗体不发生作用时,对于有两个正平衡点 的情况,很难利用线性化的方法判断出模型在平衡点处的Jacobian矩阵的特征根具有 负实部,故很难理论的证明平衡点的稳定性.在后续的研究中;我们将继续讨论这个问 题.

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致谢

三年的研究生生活即将结束,对于过去的三年,我心中有许多感激!

我最想感谢的是我的导师一滕志东老师•在学习上,由于我有时候会不仔细,写出 来发给老师的文章经常右各种各样的错误•感谢老师非常有耐心,不厌其烦的给我指导, 我才能顺利的完成毕业论文,今天才能参加答辩.在生活上老师像亲人一样照顾我们, 休息时会带我们一起去爬山,有时候也会带我们出去改善伙食,这让我的研究生生活 更加丰富多彩.毕业后我也会成为一名教师,我希望我对我的学生也能做到像滕老师对 我一样负责.

感谢新疆大学数学与系统科学学院的老师们•在这三年里,老师们帮助我完成了专 业课程学习,为我顺利完成学业和学位论文打下了坚实的基础.在此真诚的感谢各位老 师!

最后感谢我的父母,亲人和朋友们!感谢他们的理解与支持,我将会用实际行动回 报他们!